Найти разложение функции в ряд Лорана в точке по степеням . Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости. , а) ; б) .

Добавлена: 30.04.2026
Обновлена: 30.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций комплексного переменного

Найти разложение функции в ряд Лорана в точке по степеням . Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости. , а) ; б) .

Условие:

Найти разложение функции в ряд Лорана в точке $z_{0}$ по степеням $z-z_{0}$ . Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости. $\quad \frac{1}{z} \cos z$ , а) $z_{0}=0$ ; б) $z_{0}=\infty$ .

Решение:

Рассмотрим функцию f(z)=cos z/z и найдём её разложение в ряд Лорана по степеням (z–z₀) при двух значениях точки z₀.

──────────────────────────────
Часть а) z₀ = 0

Напомним, что функция cos z представляется своим степенным рядом:
cos z = 1 – z²/2! + z⁴/4! – z⁶/6! + …
то есть cos z = Σₙ₌₀∞ [ (–1)ⁿ/(2n)! ]·z^(2n).
Делим cos z на z, получая:
f(z)=cos z/z = (1/z)·[1 – z²/2! + z⁴/4! – …] =
= 1/z – z/2! + z³/4! – z⁵/6! + …
Иными словами: f(z)= Σₙ₌₀∞ [ (–1)ⁿ/(2n)! ]·z^(2n–1).
Анализи...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое утверждение верно относительно главной части ряда Лорана функции $ f(z) = \frac{1}{z} \cos z $ при разложении в точке $ z_0 = 0 $ и в точке $ z_0 = \infty $?

Главная часть ряда в точке $z_0 = 0$ содержит все члены с отрицательными степенями $z$ , а в точке $z_0 = \infty$ — все члены с положительными степенями $z$ .

Главная часть ряда в точке $z_0 = 0$ содержит члены с отрицательными степенями $z$ , а в точке $z_0 = \infty$ — члены с положительными степенями $z$ , но при этом разложение в $z_0 = \infty$ строится по степеням $1/z$ .