Найти решение а) внутренней и б) внешней краевых задач для уравнения Лапласа, если на границе круга заданы условия 1) , 2) , 3) \( .u _{ -a}= \{ {array}{ll}A & { при } 0

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Уравнения математической физики

$Найти решение а) внутренней и б) внешней краевых задач для уравнения Лапласа, если на границе круга заданы условия 1) , 2) , 3) \( .u _{ -a}= \{ {array}{ll}A & { при } 0$

Условие:

Найти решение а) внутренней и б) внешней краевых задач для уравнения Лапласа, если на границе круга заданы условия

$\left.u\right|_{\rho-a}=A \sin \varphi$ ,
$\left.u\right|_{\rho-a}=A \sin ^{3} \varphi+B$ ,
$\left.u\right|_{\rho-a}=\left{

\begin{array}{ll}A \sin \varphi & \text { при } 0<\varphi<\pi, \\ \frac{1}{3} A \sin ^{3} \varphi & \text { при } \pi<\varphi<2 \pi .\end{array}

Решение:

Ниже представлено подробное решение задачи по поиску решения уравнения Лапласа в круге (внутренняя задача) и вне круга (внешняя задача) при следующих граничных условиях на окружности ρ = a:

1) u|₍ρ=a₎ = A·sinφ
2) u|₍ρ=a₎ = A·(sin³φ) + B
3) u|₍ρ=a₎ = { A·sinφ при 0 < φ < π,
(A/3)·sin³φ при π < φ < 2π . }

Принцип решения следующий. Ищем решения уравнения Лапласа
uᵣᵣ + (1/ρ) uᵣ + (1/ρ²) uφφ = 0
в полярных координатах. Стандартный метод – разделение переменных, что приводит к общему виду решения в...