Условие:
Найти решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений методом исключения и матричным методом. Ответ проверить подстановкой.
Решение:
1. Методом исключения.
Выражаем из второго уравнения:
x=y'+y
Тогда:
x'=y''+y'
И подставляя в первое:
y''+y'=y'+y-2y
Получаем:
y''+y=0
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
k2+1=0
k=i
По виду корней (чисто мнимые, сопряженные) получаем:
y=c1 cost+c2 sint
Находим производную:
y'=-c1 sint+c2 cost
И определяем x:
x=y'+y=-c1 sint+c2 cost+c1 cost+c2 sint=
=(c1+c2 )cost+(c2-c1 )sint
Получили общее решение: