1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Найти сумму первых членов ряда , доказать сходимость ря...
Разбор задачи

Найти сумму первых членов ряда , доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости и найти сумму ряда (S).

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Теория пределов случайных величин
Найти сумму первых членов ряда , доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости и найти сумму ряда (S).

Условие:

Найти сумму nn первых членов ряда (Sn)\left(S_{n}\right), доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости и найти сумму ряда (S).

11⋅2+12⋅3+…+1n(n+1)+… \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}+\ldots

Решение:

Рассмотрим ряд:

∑n=1∞1n(n+1). \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}.
  1. Найдем сумму первых nn членов ряда SnS_n.

Сначала упростим общий член ряда:

1n(n+1)=1n−1n+1. \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}.

Таким образом, сумма первых nn членов будет:

Sn=∑k=1n(1k−1k+1). S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right).

Это телескопическая сумма. Распишем её:

Sn=(11−12)+(12−13)+(13−14)+…+(1n−1n+1). S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right).

При сложении всех членов, все внутренние дроби сокращаются, и остаются только первые и последние:

Sn=1−1n+1. S_n = 1 - \frac{1}{n+1}.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод разложения дробей используется для упрощения общего члена ряда $\frac{1}{n(n+1)}$ перед вычислением суммы первых $n$ членов?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я