Найти сумму ряда с помощью интегрирования или дифференцирования В ответе укажите значение в точке . Формат ответа: целое число или десятичная дробь (с точностью до сотых).

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Найти сумму ряда с помощью интегрирования или дифференцирования В ответе укажите значение в точке . Формат ответа: целое число или десятичная дробь (с точностью до сотых).

Условие:

Найти сумму ряда $S(x)$ с помощью интегрирования или дифференцирования

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-5)^{n+6}}{5^{n} n+6 \cdot 5^{n}}

В ответе укажите значение $S(x)+5^{6} \ln \left(1-\frac{x-5}{5}\right)$ в точке $x=6$ .

Формат ответа: целое число или десятичная дробь (с точностью до сотых).

Решение:

Рассмотрим данный ряд

S(x) = Σₙ₌₀∞ (x–5)^(n+6) / [5ⁿ (n+6)]
= (x–5)⁶ · Σₙ₌₀∞ ((x–5)/5)ⁿ/(n+6).

Наша цель – вычислить значение
S(x) + 5⁶ · ln(1 – (x–5)/5)
в точке x =
6.

Поскольку x = 6, то x–5 = 1 и
u = (x–5)/5 = 1/5.
При x = 6 имеем
S(6) = 1⁶ · Σₙ₌₀∞ (1/5)ⁿ/(n+6) = Σₙ₌₀∞ (1/5)ⁿ/(n+6).

Чтобы аккуратно “суммировать” этот ряд, сделаем замену индекса. Положим m = n + 6, тогда при n = 0 получаем m = 6, и ряд переписывается как

S(6) = Σₘ₌₆∞ 1/(5^(m–6) · m)
= 5⁶ · Σ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод преобразования ряда был использован для упрощения выражения $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-5)^{n+6}}{5^{n} (n+6)}$ до вида, удобного для суммирования с помощью известного разложения ряда?

Дифференцирование ряда по $x$

Замена индекса суммирования $m = n+6$

Интегрирование ряда по $x$