Найти точки экстремумов функции на множестве:

Для нахождения точек экстремумов функции $f(x, y) = 5x - 3y$ на заданном множестве $X$, сначала определим границы этого множества.

Шаг 1: Определение области

1. Круг: $x^2 + y^2 \leq 25$ — это круг радиуса 5 с центром в начале координат.
2. Прямая: $x - y \leq 0$ — это прямая, где $x \leq y$.
3. Прямая: $x + y \leq 5$ — это прямая, где $y \leq 5 - x$.

Шаг 2: Нахождение пересечений границ

Теперь найдем точки пересечения границ, чтобы определить вершины области.

1. Пересечение $x - y = 0$ и $x + y = 5$:

   $$x = y \quad \text{и} \quad x + x = 5 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}, \quad y = \frac{5}{2}.$$
   Точка: $\left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2} \right)$.

2. Пересечение $x - y = 0$ и $x^2 + y^2 = 25$:

   $$x = y \quad \text{и} \quad x^2 + x^2 = 25 \implies 2x^2 = 25 \implies x^2 = \frac{25}{2} \implies x = \frac{5\sqrt{2}}{2}, \quad y = \frac{5\sqrt{2}}{2}.$$
   ...