Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке . .

Добавлена: 27.04.2026
Обновлена: 27.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке . .

Условие:

Найти угол между градиентами скалярных полей $u(x, y, z)$ и $v(x, y, z)$ в точке $M$ . $v=3 \sqrt{2} x^{2}-\frac{y^{2}}{\sqrt{2}}+3 \sqrt{2} z^{3}, \quad u=\frac{z^{2}}{x y^{2}}, \quad M\left(\frac{1}{3}, 2, \sqrt{\frac{2}{3}}\right)$ .

Решение:

Рассмотрим заданные скалярные поля:
v(x,y,z) = 3√2·x² – (y²/√2) + 3√2·z³
u(x,y,z) = z²/(x·y²)
Точка, в которой нужно найти угол между градиентами, M = (1/3, 2, √(2/3)).

Шаг 1. Найдём градиент поля v.
∇v = (∂v/∂x, ∂v/∂y, ∂v/∂z).

Вычислим по частям:
∂v/∂x = производная от 3√2·x² по x = 6√2·x.
∂v/∂y = производная от –(y²/√2) по y = –2y/√2.
∂v/∂z = производная от 3√2·z³ по z = 9√2·z².

Таким образом, ∇v = (6√2·x, –2y/√2, 9√2·z²).

Подставляем M: x = 1/3, y = 2, z = √(2/3).
Первый ко...