Условие:
Найти условные экстремумы функций:
\text { 13.109. } z=x2+y2-x y+x+y-4 \text { при } x+y+3=0 \text {. }
Решение:
Мы ищем условный экстремум функции
z = x² + y² – xy + x + y – 4
при условии
x + y + 3 = 0.
Для решения используем метод множителей Лагранжа.
────────────────────────── Шаг 1. Составляем функцию Лагранжа
Обозначим множитель Лагранжа через λ. Тогда функция Лагранжа имеет вид:
L(x, y, λ) = x² + y² – xy + x + y – 4 – λ(x + y + 3).
────────────────────────── Шаг 2. Находим частные производные и приравниваем их нулю
Выпишем необходимые уравнения:
- ∂L/∂x = 2x – y + 1 – λ = 0,
- ∂L/∂y = 2y – x + 1 – λ = 0,
- ∂L/∂λ = –(x + y + 3) = 0, т.е. x + y + 3 = 0.
────────────────────────── ...