найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных, доказав при этом равенство смешанных производных u= In(2x+4y)

Для нахождения всех частных производных второго порядка функции $u = \ln(2x + 4y)$ начнем с нахождения первых частных производных.

Шаг 1: Нахождение первых частных производных

1. Первая частная производная по ...: $ u_x = \frac{\partial}{\partial x} \ln(2x + 4y) = \frac{1}{2x + 4y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(2x + 4y) = \frac{1}{2x + 4y} \cdot 2 = \frac{2}{2x + 4y} $

2. :
   $$u_y = \frac{\partial}{\partial y} \ln(2x + 4y) = \frac{1}{2x + 4y} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(2x + 4y) = \frac{1}{2x + 4y} \cdot 4 = \frac{4}{2x + 4y}$$

Теперь найдем вторые частные производные.

1. :

   $$ux = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{2}{2x + 4y} \right)$$
   Используем правило производной частного:
   $$u_{xx} = \frac{0 \cdot (2x + 4y) - 2 \cdot 2}{(2x + 4y)^2} = \frac{-4}{(2x + 4y)^2}$$

2. :

   $$uy = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{4}{2x + 4y} \right)$$
   Аналогично, применяем правило производной частного:
   $$u_{yy} = \frac{0 \cdot (2x + 4y) - 4 \cdot 4}{(2x + 4y)^2} = \frac{-16}{(2x + 4y)^2}$$

3. :

   $$ux = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{2}{2x + 4y} \right)$$
   Применяем правило производной частного:
   $$u_{xy} = \frac{0 \cdot (2x + 4y) - 2 \cdot 4}{(2x + 4y)^2} = \frac{-8}{(2x + 4y)^2}$$

4. :

   $$uy = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{4}{2x + 4y} \right)$$
   Применяем правило производной частного:
   $$u_{yx} = \frac{0 \cdot (2x + 4y) - 4 \cdot 2}{(2x + 4y)^2} = \frac{-8}{(2x + 4y)^2}$$

Мы получили:

$$u{yx} = \frac{-8}{(2x + 4y)^2}$$

Таким образом, $u{yx}$, что подтверждает равенство смешанных производных для функции $u = \ln(2x + 4y)$.

Все частные производные второго порядка:

• $u_{xx} = \frac{-4}{(2x + 4y)^2}$
• $u_{yy} = \frac{-16}{(2x + 4y)^2}$
• $u{yx} = \frac{-8}{(2x + 4y)^2}$

Равенство смешанных производных доказано.