Найти все различные разложения функции в ряд Лорана по степеням и указать соответствующие области, в которых эти разложения имеют место, а также разложить в точке .

Добавлена: 22.05.2026
Обновлена: 22.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций комплексного переменного

Найти все различные разложения функции в ряд Лорана по степеням и указать соответствующие области, в которых эти разложения имеют место, а также разложить в точке .

Условие:

Найти все различные разложения функции $f(z)=\frac{2 i}{z^{2}+1}$ в ряд Лорана по степеням $z-i$ и указать соответствующие области, в которых эти разложения имеют место, а также разложить в точке $z=\infty$ .

Решение:

1. Дано

Функция:

\nf(z)=\frac{2 i}{z^{2}+1}

Центр разложения:

z_0 = i

2. Найти

Все различные разложения функции $f(z)$ в ряд Лорана по степеням $(z-i)$ .
Области сходимости этих рядов.
Разложение функции в точке $z=\infty$ .

3. Решение

Шаг 1: Анализ функции и особых точек

Сначала найдем особые точки функции $f(z)$ , разложив знаменатель на множители:

\nz^2 + 1 = (z-i)(z+i)

Особые точки:

z_1 = i

z_2 = -i

Поскольку мы ищем разложение по степеням $(z-i)$ в окрестности точки $z_0 = i$ , нас интересуют кольцевые области, ограниченные этими особыми точкам...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При разложении функции $f(z)=\frac{2 i}{z^{2}+1}$ в ряд Лорана по степеням $z-i$, какие особые точки определяют границы кольцевых областей сходимости?

$z=i$ и $z=-i$