Найти значение второй частной производной z x " функции z=x ex y в точке (0,2).

Чтобы найти значение второй частной производной функции $z = x e^{xy}$ в точке $(0, 2)$, нам нужно сначала найти пер...

Функция:

$$z = x e^{xy}$$

Используем правило произведения для нахождения первой производной:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) \cdot e^{xy} + x \cdot \frac{\partial}{\partial x}(e^{xy})$$

Первая часть:

$$\frac{\partial}{\partial x}(x) = 1$$

Вторая часть (используем правило цепочки):

$$\frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) = e^{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) = e^{xy} \cdot y$$

Теперь подставим обе части в формулу:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy} + x \cdot e^{xy} \cdot y = e^{xy} + xye^{xy}$$

Теперь найдем вторую частную производную:

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(e^{xy} + xye^{xy}\right)$$

Сначала найдем производную от $e^{xy}$:

$$\frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) = e^{xy} \cdot y$$

Теперь найдем производную от $xye^{xy}$ (используем правило произведения):

$$\frac{\partial}{\partial x}(xye^{xy}) = y e^{xy} + xy \cdot e^{xy} \cdot y = ye^{xy} + xy^2 e^{xy}$$

Теперь объединим все части:

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = ye^{xy} + (ye^{xy} + xy^2 e^{xy}) = 2ye^{xy} + xy^2 e^{xy}$$

Теперь подставим $x = 0$ и $y = 2$:

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\bigg|_{(0, 2)} = 2 \cdot 2 \cdot e^{0 \cdot 2} + 0 \cdot 2^2 \cdot e^{0 \cdot 2}$$

$$= 4 \cdot e^0 + 0 = 4 \cdot 1 + 0 = 4$$

Значение второй частной производной $z$ по $x$ в точке $(0, 2)$ равно $4$.