Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Линеаризовать функцию в точке M.

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальная геометрия

Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Линеаризовать функцию в точке M.

Условие:

Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $S$ в точке $M$ . Линеаризовать функцию $z(x, y)$ в точке M. $S$ :

x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1, \quad M\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)^{\mathrm{T}}

Решение:

Найдем сначала градиент функции F(x, y, z) = x² + 2y² + z² – 1, который задаёт нормаль к поверхности.

Определим F(x, y, z) = x² + 2y² + z² –
1.
∂F/∂x = 2x, ∂F/∂y = 4y, ∂F/∂z = 2z.
Найдем градиент в точке M(1/2, 1/2, 1/2):
grad F(M) = (2·(1/2), 4·(1/2), 2·(1/2)) = (1, 2, 1).
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M записывается по формуле:
grad F(M) · ( (x, y, z) – (1/2, 1/2, 1/2) ) =
0.
Подставляем:
1·(x – 1/2) + 2·(y – 1/2) + 1·(z – 1/2) =
0.
Раскроем скобки: x –...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из методов используется для нахождения уравнения касательной плоскости к поверхности, заданной неявно уравнением F(x, y, z) = 0, в заданной точке M?

Метод интегрирования функции F(x, y, z) по каждой переменной.

Использование градиента функции F(x, y, z) в точке M как вектора нормали к касательной плоскости.

Нахождение второй производной функции F(x, y, z) по каждой переменной.

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Градиент скалярной функции (F(x, y, z)) в точке (M(x_0, y_0, z_0)) является вектором, перпендикулярным касательной плоскости к поверхности (F(x, y, z) = C) в этой точке.
Уравнение касательной плоскости к поверхности (F(x, y, z) = C) в точке (M(x_0, y_0, z_0)) задается формулой: $\frac{\partial F}{\partial x}(M)(x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(M)(y - y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(M)(z - z_0) = 0$ .
Уравнение нормали к поверхности (F(x, y, z) = C) в точке (M(x_0, y_0, z_0)) задается параметрическими уравнениями: $x = x_0 + t \frac{\partial F}{\partial x}(M)$ , $y = y_0 + t \frac{\partial F}{\partial y}(M)$ , $z = z_0 + t \frac{\partial F}{\partial z}(M)$ , где $t$ — параметр.
Линеаризация функции $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ представляет собой приближение функции линейной функцией и задается формулой: $L(x, y) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)$ .
Если функция задана неявно уравнением $F(x, y, z) = 0$ , то для нахождения частных производных $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$ можно использовать формулы: $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\partial F / \partial x}{\partial F / \partial z}$ и $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\partial F / \partial y}{\partial F / \partial z}$ .