Обозначим через ДЕЛ утверждение «натуральное число делится без остатка на натуральное число ». Для какого наибольшего натурального числа формула тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной )?

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Теория чисел
#Математическая логика

Обозначим через ДЕЛ утверждение «натуральное число делится без остатка на натуральное число ». Для какого наибольшего натурального числа формула тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной )?

Условие:

Обозначим через ДЕЛ $(n, m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$ ». Для какого наибольшего натурального числа $A$ формула

\text { ДЕЛ }(70, A) \wedge(\text { ДЕЛ }(x, 28) \rightarrow(\neg \text { ДЕЛ }(x, A) \rightarrow \neg \text { ДЕЛ }(x, 21)))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной

x

Решение:

1. Дано

У нас есть логическое выражение, которое должно быть тождественно истинным (всегда истинным) для любого натурального $x$ :

\text{ДЕЛ}(70, A) \wedge (\text{ДЕЛ}(x, 28) \rightarrow (\neg \text{ДЕЛ}(x, A) \rightarrow \neg \text{ДЕЛ}(x, 21)))

Где

\text{ДЕЛ}(n, m)

означает, что

n

делится на

m

2. Найти

Наибольшее натуральное число $A$ , при котором данная формула тождественно истинна.

3. Решение

Пусть $P$ — утверждение $\text{ДЕЛ}(70, A)$ , $Q$ — утверждение $\text{ДЕЛ}(x, 28)$ , $R$ — утверждение $\text{ДЕЛ}(x, A)$ , и $S$ — утверждение $\text{ДЕЛ}(x, 21)$ .