Разбор задачи

Оператор задан в явном виде, как Найти матрицу оператора в стандартном базисе.

Условие:

Оператор $\varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ задан в явном виде, как $ \varphi\left(\left(

\begin{array}{c} \xi^{1} \\ \xi^{2} \\ \xi^{3} \end{array}

\begin{array}{c} \xi^{1}+\xi^{3} \\ -\xi^{1}-\xi^{3} \\ 0 \end{array}

Найти матрицу оператора $\varphi$ в стандартном базисе.

Стандартный базис в $\mathbb{R}^3$ состоит из векторов: $ \mathbf{e}_1 =

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Теперь применим оператор $\varphi$ к каждому из этих векторов.

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 + 0 \\ -1 - 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0 + 0 \\ -0 - 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

$...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Каким образом формируются столбцы матрицы линейного оператора в стандартном базисе?

Столбцы матрицы формируются из координат векторов стандартного базиса, к которым применён оператор.

Столбцы матрицы формируются из коэффициентов линейной комбинации, которая определяет оператор.

Столбцы матрицы формируются из строк, полученных при применении оператора к векторам стандартного базиса.