3. Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y'' - 4y' + 5y = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y(0) = 0, y'(0) = 1

Чтобы найти частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами $y - 4y + 5y = 0$, следуем следующим шагам:

Шаг ...

Для уравнения $y - 4y + 5y = 0$ характеристическое уравнение имеет вид: $ r^2 - 4r + 5 = 0 $

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

$$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

где $a = 1$, $b = -4$, $c = 5$.

Подставим значения:

$$r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2}$$

$$r = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i$$

Общее решение уравнения будет иметь вид:

$$y(t) = e^{\alpha t} (C2 \sin(\beta t))$$

где $\alpha = 2$ и $\beta = 1$. Таким образом, общее решение:

$$y(t) = e^{2t} (C2 \sin(t))$$

Теперь применим начальные условия $y(0) = 0$ и $y(0) = 1$.

1. $y(0) = 0$:

   $$y(0) = e^{2 \cdot 0} (C2 \sin(0)) = C2 \cdot 0 = C_1$$
   Следовательно, $C_1 = 0$.

2. $y(0) = 1$: Сначала найдем производную $y(t)$:

   $$y(t) = \frac{d}{dt} \left( e^{2t} (C2 \sin(t)) \right)$$
   Используем правило произведения:
   $$y(t) = e^{2t} \cdot 2(C2 \sin(t)) + e^{2t} \cdot (-C2 \cos(t))$$
   $$= e^{2t} \left( 2C2 \sin(t) - C2 \cos(t) \right)$$
   $$= e^{2t} \left( (2C2) \cos(t) + (2C1) \sin(t) \right)$$

Теперь подставим $t = 0$:

$$y(0) = e^{2 \cdot 0} \left( (2C2) \cdot 1 + (2C1) \cdot 0 \right) = 2C2$$

Поскольку $C_1 = 0$, получаем:

$$y(0) = C_2 = 1$$

Таким образом, $C_2 = 1$ и общее решение с учетом начальных условий:

$$y(t) = e^{2t} (0 \cdot \cos(t) + 1 \cdot \sin(t)) = e^{2t} \sin(t)$$

Частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями:

$$y(t) = e^{2t} \sin(t)$$