1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Определить градиент и производную заданной функции в т....
Разбор задачи

Определить градиент и производную заданной функции в т. в направлении линии в сторону убывания аргумента .

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Дифференциальные уравнения
Определить градиент и производную заданной функции в т. в направлении линии в сторону убывания аргумента .

Условие:

Определить градиент и производную заданной функции z=x2+y2z=x^{2}+y^{2} в т. M0(6,−8)M_{0}(6,-8) в направлении линии y=−29x2y=-\frac{2}{9} x^{2} в сторону убывания аргумента xx.

Решение:

Шаг 1: Найти градиент функции

Градиент функции z=x2+y2z = x^2 + y^2 определяется как вектор частных производных:

∇z=(∂z∂x,∂z∂y) \nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)

Вычислим частные производные:

  1. ∂z∂x=2x\frac{\partial z}{\partial x} = 2x
  2. ∂z∂y=2y\frac{\partial z}{\partial y} = 2y

Теперь подставим координаты точки M0(6,−8)M_0(6, -8):

∂z∂x∣(6,−8)=2⋅6=12 \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(6, -8)} = 2 \cdot 6 = 12
∂z∂y∣(6,−8)=2⋅(−8)=−16 \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(6, -8)} = 2 \cdot (-8) = -16

Таким образом, градиент в точке M0M_0:

∇z(6,−8)=(12,−16) \nabla z(6, -8) = (12, -16)

Шаг 2: Найти направление линии

У нас есть линия y=−29x2y = -\frac{2}{9} x^2. Чтобы найти направление этой линии, найдем производную:

dydx=−49x \frac{dy}{dx} = -\frac{4}{9} x

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно градиента функции?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я