Определить порядок бесконечно малой относительно бесконечно малой при .

Чтобы определить порядок $k$ бесконечно малой $\alpha(x)$ относительно бесконечно малой $\beta(x)$ при $x \rightarrow 0$, нам нужно найти предел отношения $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ при $x \rightarrow 0$.

1. Запишем выражения для $\alpha(x)$ и $\beta(x)$:

   $$\alpha(x) = \sqrt{\sin(x^{10}) + 3x^{20}}, \quad \beta(x) = x.$$

2. Найдем предел $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$:

   $$\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \frac{\sqrt{\sin(x^{10}) + 3x^{20}}}{x}.$$

3. Теперь рассмотрим поведение $\sin(x^{10})$ при $x \rightarrow 0$. Мы знаем, что $\sin(t) \approx t$ при $t \rightarrow 0$. Таким образом, при $x \rightarrow 0$:

   $$\sin(x^{10}) \approx x^{10}.$$
   ...