Определите кривые, на которых может достигаться экстремум в следуюших задачах Больца: .

Наша задача – найти такую функцию y(x), которая экстремизирует функционал

  J[y] = ∫₀¹ (y′² + y²) dx – 2·y(1)·sh(1).

Поскольку в функционале присутствует интегральная часть и дополнительный член, зависящий от конечного значения y(1), это пример задачи Больца.

ШАГ 1. Вывод уравнения Эйлера–Лагранжа

Обозначим интегрант функционала через L, где
  L = y′² + y².
Найдём частные производные:
  ∂L/∂y′ = 2y′  и  ∂L/∂y = 2y.
Уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид:
  d/dx (∂L/∂y′) – ∂L/∂y = 0.
Подставляем найденные вы...