Разбор задачи

Показать, что для любых чисел

Условие:

Показать, что для любых чисел $x, y \in \mathbb{R}$

\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x+i y}{n}\right)^{n}=e^{x}(\cos y+i \sin y)

Чтобы показать, что

\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x+i y}{n}\right)^{n}=e^{x}(\cos y+i \sin y),

начнем с применения формулы для предела, который описывает экспоненциальную функцию. Мы можем использовать следующее свойство:

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a

для любого комплексного числа $a$ .

В нашем случае $a = x + iy$ . Таким образом, мы можем записать:

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x + iy}{n}\right)^n = e^{x + iy}.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое ключевое свойство комплексных чисел используется для преобразования выражения $e^{x+iy}$ в форму $e^x(\cos y + i\sin y)$?

Свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.

Формула Эйлера.

Основная теорема алгебры.