покажите что бинарное отношение R , заданное на множестве A , является отношением эквивалентности . найдите классы эквивалентности , порожденные элементами a и b. A={1,2,3,4}, R={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1), (2,4), (4,2), (1,4), (4,1)}, a=3,

Чтобы показать, что бинарное отношение R, заданное на множестве A, является отношением эквивалентности, необходимо пров...

Отношение R является рефлексивным, если для каждого элемента x ∈ A выполняется (x, x) ∈ R. В нашем случае: - (1, 1) ∈ R - (2, 2) ∈ R - (3, 3) ∈ R - (4, 4) ∈ R Все элементы 1, 2, 3, 4 имеют соответствующие пары в R, следовательно, отношение R является рефлексивным. Отношение R является симметричным, если для любых x, y ∈ A, если (x, y) ∈ R, то (y, x) ∈ R. Проверяем пары: - (1, 2) ∈ R и (2, 1) ∈ R - (2, 4) ∈ R и (4, 2) ∈ R - (1, 4) ∈ R и (4, 1) ∈ R Все пары имеют соответствующие симметричные пары, следовательно, отношение R является симметричным. Отношение R является транзитивным, если для любых x, y, z ∈ A, если (x, y) ∈ R и (y, z) ∈ R, то (x, z) ∈ R. Проверим все возможные комбинации: - Если (1, 2) ∈ R и (2, 4) ∈ R, то (1, 4) ∈ R (это верно). - Если (2, 1) ∈ R и (1, 4) ∈ R, то (2, 4) ∈ R (это верно). - Если (2, 4) ∈ R и (4, 1) ∈ R, то (2, 1) ∈ R (это верно). - Если (4, 2) ∈ R и (2, 1) ∈ R, то (4, 1) ∈ R (это верно). - Если (1, 4) ∈ R и (4, 2) ∈ R, то (1, 2) ∈ R (это верно). Все проверки транзитивности выполнены, следовательно, отношение R является транзитивным. Поскольку отношение R является рефлексивным, симметричным и транзитивным, оно является отношением эквивалентности. Теперь найдем классы эквивалентности, порожденные элементами a = 3 и b = 2. : - Поскольку 3 не связано ни с каким другим элементом в R (нет пар с 3), класс эквивалентности [3] = \{3\}. : - Из R видно, что 2 связано с 1 и 4: - (2, 1) ∈ R и (1, 2) ∈ R - (2, 4) ∈ R и (4, 2) ∈ R Таким образом, класс эквивалентности [2] = \{1, 2, 4\}. Классы эквивалентности: - [3] = \{3\} - [2] = \{1, 2, 4\}