Последовательность чисел определяется следующим образом: , для всех . Запишите значение в виде несократимой дроби.

Добавлена: 29.04.2026
Обновлена: 29.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория чисел

Последовательность чисел определяется следующим образом: , для всех . Запишите значение в виде несократимой дроби.

Условие:

Последовательность чисел $\left(a_{n}\right)$ определяется следующим образом: $a_{1}=2, a_{2}=\frac{10}{11}$ , $a_{n}=\frac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2 a_{n-2}-a_{n-1}}$ для всех $n=3,4, \ldots$ . Запишите значение $a_{400}$ в виде несократимой дроби.

Решение:

У нас дано: $a_1 = 2$ $a_2 = \frac{10}{11}$ $a_n = \frac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2 a_{n-2} - a_{n-1}}$ для $n \ge 3$ .

Шаг 1: Попробуем найти закономерность через обратные величины.

Пусть $b_n = \frac{1}{a_n}$ . Тогда:

a_n = \frac{a_{n-2} a_{n-1}}{2 a_{n-2} - a_{n-1}}.

Подставим $a_k = \frac{1}{b_k}$ :

\frac{1}{b_n} = \frac{\frac{1}{b_{n-2}} \cdot \frac{1}{b_{n-1}}}{2 \cdot \frac{1}{b_{n-2}} - \frac{1}{b_{n-1}}}.

Упростим числитель:

\frac{1}{b_{n-2} b_{n-1}}.

Знаменатель дроби (уже в формуле для $a_n$ ):

2 \cdot \frac{1}{b_{n-2}} - \frac{1}{b_{n-1}} = \frac{2 b_{n-1} - b_{n-2}}{b_{n-2} b_{n-1}}.

Таким образом:

\frac{1}{b_n} = \frac{\frac{1}{b_{n-2} b_{n-1}}}{\frac{2 b_{n-1} - b_{n-2}}{b_{n-2} b_{n-1}}}.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод преобразования рекуррентного соотношения $a_n = \frac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2 a_{n-2} - a_{n-1}}$ наиболее эффективен для нахождения общего члена $a_n$?

Метод подстановки, при котором каждый член выражается через $a_1$ и $a_2$ .