Построй график функции y=(2x-5)/(5x-2x2) и определи, при каком значении k прямая 𝑦=𝑘𝑥 имеет с графиком ровно одну общую точку.

Чтобы построить график функции $y = \frac{2x - 5}{5x - 2x^2}$ и определить значение $k$, при кот...

Функция $y = \frac{2x - 5}{5x - 2x^2}$ определена, когда знаменатель не равен нулю:

$$5x - 2x^2 \neq 0$$

Решим уравнение:

$$2x^2 - 5x = 0$$

Вынесем $x$:

$$x(2x - 5) = 0$$

Таким образом, $x = 0$ или $2x - 5 = 0$ (то есть $x = \frac{5}{2}$).

Следовательно, область определения функции: $x \in \mathbb{R}, x \neq 0, x \neq \frac{5}{2}$.

Для построения графика функции можно найти несколько значений $y$ для различных $x$:

• При $x = 1$:

  $$y = \frac{2(1) - 5}{5(1) - 2(1)^2} = \frac{2 - 5}{5 - 2} = \frac{-3}{3} = -1$$

• При $x = 2$:

  $$y = \frac{2(2) - 5}{5(2) - 2(2)^2} = \frac{4 - 5}{10 - 8} = \frac{-1}{2} = -0.5$$

• При $x = 3$:

  $$y = \frac{2(3) - 5}{5(3) - 2(3)^2} = \frac{6 - 5}{15 - 18} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$$

• При $x = 4$:

  $$y = \frac{2(4) - 5}{5(4) - 2(4)^2} = \frac{8 - 5}{20 - 32} = \frac{3}{-12} = -\frac{1}{4}$$

График функции будет иметь вертикальные асимптоты в точках $x = 0$ и $x = \frac{5}{2}$.

Чтобы прямая $y = kx$ имела с графиком функции ровно одну общую точку, необходимо, чтобы уравнение:

$$\frac{2x - 5}{5x - 2x^2} = kx$$

имело ровно одно решение. Умножим обе стороны на $5x - 2x^2$ (при условии, что $5x - 2x^2 \neq 0$):

$$2x - 5 = kx(5x - 2x^2)$$

Перепишем уравнение:

$$2x - 5 = 5kx^2 - 2kx^3$$

Приведем все к одной стороне:

$$2kx^3 - 5kx^2 + 2x - 5 = 0$$

Это кубическое уравнение. Для того чтобы оно имело ровно одно решение, дискриминант должно быть равным нулю.

Кубическое уравнение имеет одно решение, если его производная имеет ровно одно корень. Найдем производную:

$$f(x) = 2kx^3 - 5kx^2 + 2x - 5$$

Находим производную:

$$f(x) = 6kx^2 - 10kx + 2$$

Для того чтобы $f(x) = 0$ имело ровно одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

$$D = (-10k)^2 - 4 \cdot 6k \cdot 2 = 100k^2 - 48k$$

Приравняем дискриминант к нулю:

$$100k^2 - 48k = 0$$

Вынесем $k$:

$$k(100k - 48) = 0$$

Таким образом, $k = 0$ или $k = \frac{48}{100} = \frac{12}{25}$.

Значение $k$, при котором прямая $y = kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку, равно $k = 0$ или $k = \frac{12}{25}$.