Постройте график функции y={x2 +6x+7 {x+10 при x≥− 4, при x<− 4. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Для построения графика функции и определения значений $m$, при которых прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две о...

Функция задана кусочно:

1. $y = x^2 + 6x + 7$ при $x \geq -4$
2. $y = x + 10$ при $x -4$

Это парабола, открытая вверх. Чтобы найти её вершину, используем формулу для координат вершины параболы $x = -\frac{b}{2a}$, где $a = 1$ и $b = 6$:

$$x = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$$

Теперь подставим $x = -3$ в уравнение, чтобы найти $y$:

$$y = (-3)^2 + 6(-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-3, -2)$.

Теперь найдем значения функции при $x = -4$:

$$y = (-4)^2 + 6(-4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1$$

Таким образом, точка на графике при $x = -4$ — это $(-4, -1)$.

Это прямая, которая проходит через точку $(-4, 6)$ (так как $y = -4 + 10 = 6$) и имеет наклон 1.

Теперь нам нужно найти значения $m$, при которых прямая $y = m$ пересекает график функции в ровно двух точках.

Для параболы $y = x^2 + 6x + 7$:

$$m = x^2 + 6x + 7 \implies x^2 + 6x + (7 - m) = 0$$

Чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть положительным:

$$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7 - m) = 36 - 28 + 4m = 8 + 4m$$

Требуется, чтобы $D 0$:

$$8 + 4m 0 \implies 4m -8 \implies m -2$$

Для прямой $y = x + 10$:

$$m = x + 10 \implies x = m - 10$$

Эта прямая всегда пересекает график функции в одной точке, так как это линейная функция.

Таким образом, прямая $y = m$ будет иметь ровно две общие точки с графиком функции, если:

1. $m -2$ (для параболы)
2. $m$ не равен $6$ (так как в этом случае прямая будет касаться прямой $y = x + 10$).

Значения $m$, при которых прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки:

$$m -2 \quad \text{и} \quad m \neq 6$$