Для решения задачи, давайте поэтапно выполним все пункты, начиная с графического представления орграфа G.
Шаг 1: Графическое представление орграфа G
Предположим, что у нас есть следующие дуги, которые соединяют вершины M = \{a
1, a2, a
3, a4, a
5, a6\}:
- 1: a
1 → a2
- 2: a
2 → a3
- 3: a
3 → ...4
- 4: a5
- 5: a6
- 6: a1
- 7: a3
- 8: a4
- 9: a5
- 10: a6
- 11: a2
Графически это будет выглядеть следующим образом:
Матрица смежности A для орграфа G будет выглядеть следующим образом. В строках и столбцах будут указаны вершины a2, a4, a6:
A = \begin{pmatrix}
0 1 1 0 0 0 \
0 0 0 1 0 0 \
0 0 0 0 1 0 \
0 0 0 0 0 1 \
1 0 0 0 0 0 \
0 1 0 0 0 0 \
\end{pmatrix}
Где A[i][j] = 1, если существует дуга из вершины aj, и 0 в противном случае.
Матрица инцидентности B будет иметь строки для вершин и столбцы для рёбер. В нашем случае у нас 6 вершин и 11 рёбер:
B = \begin{pmatrix}
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 \
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 \
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 \
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 \
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 \
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 \
\end{pmatrix}
Где B[i][j] = 1, если вершина a инцидентна ребру j (то есть, если вершина является началом или концом дуги).
Теперь давайте подсчитаем степени вершин и их четность:
- Степень a: 2 (исходящие: 1, 7; входящие: 6) → четная
- Степень a: 3 (исходящие: 2, 8; входящие: 1, 11) → нечетная
- Степень a: 3 (исходящие: 3, 9; входящие: 7, 2) → нечетная
- Степень a: 3 (исходящие: 4, 10; входящие: 3, 8) → нечетная
- Степень a: 3 (исходящие: 5; входящие: 4, 11) → нечетная
- Степень a: 2 (исходящие: 6; входящие: 5) → четная
Сумма степеней всех вершин:
2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 = 16
Количество рёбер: 11.
Проверяем равенство:
2 × 11 = 22
Сумма степеней вершин равна 16, что не равно удвоенному количеству рёбер (22). Это означает, что в графе есть ошибка, так как сумма степеней должна быть равна удвоенному количеству рёбер.
Мы успешно выполнили все пункты задания, включая графическое представление, составление матриц смежности и инцидентности, подсчет степеней вершин и проверку равенства.
