Преобразовать, к полярным координатам и , полагая , следующие выражения! .

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Преобразовать, к полярным координатам и , полагая , следующие выражения! .

Условие:

Преобразовать, к полярным координатам $r$ и $\varphi$ , полагая $x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi$ , следующие выражения! $w=x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ .

Решение:

Чтобы преобразовать выражение $w = x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + 2xy \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} + y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ в полярные координаты $r$ и $\varphi$ , начнем с замены переменных $x$ и $y$ на полярные координаты:

x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi.

Теперь найдем производные $\frac{\partial}{\partial x}$ и $\frac{\partial}{\partial y}$ в полярных координатах. Для этого воспользуемся формулами преобразования производных:

Найдем частные производные:

\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \varphi},

\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \varphi}.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих выражений правильно описывает связь между частными производными по декартовым координатам и частными производными по полярным координатам?

$\frac{\partial}{\partial x} = \cos \varphi \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \varphi}{r} \frac{\partial}{\partial \varphi}$