Разбор задачи

При каких значениях и определитель принимает наибольшее значение?

Условие:

При каких значениях $\alpha$ и $\beta$ определитель $\left|

\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \frac{1}{2} \\ \cos \alpha & \sin \alpha & -\sqrt{3} \\ \sqrt{19} \sin \beta & \sqrt{19} \cos \beta & -1\end{array}

Для нахождения значений $\alpha$ и $\beta$ , при которых определитель матрицы достигает наибольшего значения, начнем с вычисления определителя:

D = \left| \begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \frac{1}{2} \\ \cos \alpha & \sin \alpha & -\sqrt{3} \\ \sqrt{19} \sin \beta & \sqrt{19} \cos \beta & -1 \end{array}\right|

Мы можем использовать правило Саррюса или разложение по строкам для вычисления определителя. Разложим определитель по третьей строке:

D = -\left(\sqrt{19} \sin \beta \cdot \left| \begin{array}{cc} \cos \alpha & \frac{1}{2} \\ \sin \alpha & -\sqrt{3} \end{array}\right| + \sqrt{19} \cos \beta \cdot \left| \begin{array}{cc} \sin \alpha & \frac{1}{2} \\ \cos \alpha & -\sqrt{3} \end{array}\right|\right)

Теперь вычислим два 2x2 определителя:

\left| \begin{array}{cc} \cos \alpha & \frac{1}{2} \\ \sin \alpha & -\sqrt{3} \end{array}\right| = \cos \alpha \cdot (-\sqrt{3}) - \frac{1}{2} \cdot \sin \alpha = -\sqrt{3} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод разложения определителя матрицы 3x3 является наиболее подходящим для упрощения вычислений в данной задаче, учитывая структуру элементов?

Разложение по первой строке, так как она содержит тригонометрические функции с одинаковым аргументом.

Разложение по третьему столбцу, так как он содержит константы и упрощает вычисление миноров.

Разложение по третьей строке, так как она содержит общий множитель и позволяет вынести его за скобки, упрощая дальнейшие преобразования.