При каком значении параметра α интеграл 3∫0 (αx + 1)/(x + 1)dx равен площади S фигуры, ограниченной линиями y = (x − 2)/(x + 1); y = −2; x = 3? Найти эту площадь S.

1. Нахождение площади фигуры $S$

Сначала найдем площадь $S$ фигуры, ограниченной линиями:

• $y_1 = \frac{x - 2}{x + 1}$
• $y_2 = -2$
• $x = 3$ (правая граница)

Для вычисления площади нам нужно найти левую границу (точку пересечения $y_1$ и $y_2$):

Таким образом, фигура ограничена по $x$ от $0$ до $3$. На этом интервале график $y_1$ лежит выше $y_2$ (проверим при $x=1$: $y_1 = -0.5$, $y_2 = -2$, следовательно $-0.5 > -2$).

Формула площади: