Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где - окружность , пробегаемая по ходу часовой стрелки.

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Применяя формулу Грина, вычислить интеграл

\oint_{(I)}-x^{2} y d x+x y^{2} d y

где $(l)$ - окружность $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ , пробегаемая по ходу часовой стрелки.

Решение:

Для вычисления интеграла по окружности $(I)$ с помощью формулы Грина, сначала запишем сам интеграл:

\oint_{(I)} -x^{2} y \, dx + x y^{2} \, dy

Формула Грина связывает криволинейный интеграл по замкнутой кривой с двойным интегралом по области, ограниченной этой кривой. Формула имеет вид:

\oint_{C} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA

где $P = -x^{2} y$ и $Q = x y^{2}$ .

Теперь найдем частные производные $\frac{\partial Q}{\partial x}$ и $\frac{\partial P}{\partial y}$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое преобразование координат наиболее целесообразно использовать при вычислении двойного интеграла по области, ограниченной окружностью $x^2 + y^2 = R^2$?

Цилиндрические координаты

Полярные координаты

Сферические координаты