Приведите определение функции дифференцируемой в точке . Что называется её дифференциалом и что -- её производной в точке ? Вычислите производную функции в точке :

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Приведите определение функции дифференцируемой в точке . Что называется её дифференциалом и что -- её производной в точке ? Вычислите производную функции в точке :

Условие:

Приведите определение функции $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}, \quad$ дифференцируемой в точке $a \in \mathbf{R}^{n}$ . Что называется её дифференциалом и что -- её производной в точке $a$ ? Вычислите производную $f^{\prime}(a)$ функции $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ в точке $a=(1,2, \ldots, n)$ : $ f(x)=\left(

\begin{array}{c}\nf^{1}(x) \\ \vdots \\ f^{n}(x) \end{array}

Решение:

Определение дифференцируемой функции

Функция $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$ называется дифференцируемой в точке $a \in \mathbf{R}^{n}$ , если существует линейное отображение $L: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$ и такая функция $R: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$ , что:

f(a + h) = f(a) + L(h) + R(h)

где $\lim_{h \to 0} \frac{\|R(h)\|}{\|h\|} = 0$ . В этом случае, $L$ называется дифференциалом функции $f$ в точке $a$ , а производной функции $f$ в точке $a$ обозначается как $f'(a)$ и равна $L$ .

Вычи...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно дифференциала функции $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$ в точке $a \in \mathbf{R}^{n}$?

Дифференциал функции $f$ в точке $a$ — это скалярная величина, характеризующая скорость изменения функции.

Дифференциал функции $f$ в точке $a$ — это линейное отображение $L: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$ , которое наилучшим образом аппроксимирует приращение функции в окрестности точки $a$ .