Проверить, что система векторов является базисом линейного пространства и найти координаты вектора в этом базисе, если вектора заданы следующими координатами: , .

Шаг 1: Дано

Имеем три вектора:

• $\bar{a}_{1} = (-2, 3, 0)$
• $\bar{a}_{2} = (2, -3, 4)$
• $\bar{a}_{3} = (-2, 0, -3)$

И вектор:

• $\bar{b} = (-4, 3, 7)$

Шаг 2: Найти

Нам нужно проверить, является ли система векторов $\{\bar{a}_{1}, \bar{a}_{2}, \bar{a}_{3}\}$ базисом линейного пространства $\mathbb{R}^3$, а также найти координаты вектора $\bar{b}$ в этом базисе.

Шаг 3: Решение

Для проверки, является ли система векторов базисом, необходимо выяснить, линейно ли они независимы. Для этого составим матрицу из этих векторов и найдем её определитель.

Составим матрицу $A$: