Проверить является ли алгебра евклидовым пространством. Если является, найти ортонормированный базис.

Условие:

\mathcal{V}=\left\{\left\{a x^{3}+b x^{2}+c x+d \mid a, b, c, d \in R, b=a-c\right\},+,\left\{\omega_{\alpha} \mid \alpha \in R\right\}\right\rangle ; \text { Если } f(x)=a_{1} x^{3}+b_{1} x+c_{1} x+d_{1} \text {; } g(x)=a_{2} x^{3}+b_{2} x+c_{2} x+d_{2} \text { , то }(f, g)=a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}+d_{1} d_{2}

Определение структуры векторного пространства: Множество (\mathcal{V}) состоит из полиномов вида (ax^3 + bx^2 + cx + d), где (b = a - c). Это означает, что мы можем выразить (b) через (a) и (c). Таким образом, любой элемент из (\mathcal{V}) можно записать как:
$f(x) = ax^3 + (a - c)x^2 + cx + d = ax^3 + ax^2 - cx^2 + cx + d = ax^3 + ax^2 + cx + d - cx^2$
Это показывает, что мы можем выразить любой полином в (\mathcal{V}) через три независимые переменные: (a), (c) и (d). Следовательно, (\mathcal{V}) является векторным пространством размерности 3...