Провести полное исследование функции , где , . Найти область определения функции; найти точки пересечения графика функции с координатными осями; исследовать функцию на чётность, нечётность; исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек

Область определения функции: Функция определена для всех x, кроме тех значений, при которых знаменатель равен нулю. Знаменатель x - 1 = 0, следовательно, x = 1 является точкой, в которой функция не определена. Таким образом, область определения функции: D = R \ {1} = (-∞, 1) ∪ (1, +∞).

Точки пересечения с осями:

• Пересечение с осью Y (x = 0): y(0) = (2 * 0²) / (0 - 1) = 0. Точка пересечения: (0, 0).
• Пересечение с осью X (y = 0): 2x² = 0, следовательно, x = 0. Точка пересечения: (0, 0).

Четность и нечетность: Проверим четность: f(-x) = (2(-x)²) / (-x - 1) = (2x²) / (-x - 1). Поскольку f(-x) ≠ f(x) и f(-x) ≠ -f(x), функция не является ни четной, ни нечетной.

Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах (-∞, 1) и (1, +∞). В точке x = 1 функция разрывается, так как в этой точке она не определена. Это разрыв первого рода (разрыв по значению).

Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: x = 1 (где функция не определена).
• Горизонтальная асимптота: при x → ±∞, y = (2x²) / (x) = 2x, что указывает на то, что при больших значениях x функция стремится к бесконечности, а не к конечному значению. Таким образом, горизонтальной асимптоты нет.

Экстремумы: Найдем производную: y' = (4x(x - 1) - 2x²) / (x - 1)² = (4x² - 4x - 2x²) / (x - 1)² = (2x² - 4x) / (x - 1)². Приравняем к нулю: 2x² - 4x = 0, x(2x - 4) = 0, x = 0 или x =

Проверим знаки производной для определения экстремумов:

• На интервале (-∞, 0) производная положительна (функция возрастает).
• На интервале (0, 2) производная отрицательна (функция убывает).
• На интервале (2, +∞) производная положительна (функция возрастает). Таким образом, в точке x = 0 - локальный максимум, в точке x = 2 - локальный минимум.

Выпуклость и вогнутость: Найдем вторую производную: y'' = (другая производная y') = (4x - 4) / (x - 1)³. Приравняем к нулю: 4x - 4 = 0, x =

Исследуем знаки второй производной:

• На интервале (-∞, 1) вогнутость (y'' < 0).
• На интервале (1, +∞) выпуклость (y'' > 0). Точка x = 1 является точкой перегиба.

График функции: График функции будет представлять собой параболу, которая имеет вертикальную асимптоту в x = 1, проходит через точку (0, 0), имеет локальный максимум в (0, 0) и локальный минимум в (2, y(2)), где y(2) = (2 *...