Пусть a, b, c — три натуральных числа. На доску выписали три произведения ab, ac, bc, и у каждого из них стёрли все цифры, кроме двух последних. Могло ли случиться, что в результате получились три последовательных двузначных числа?

Мы хотим выяснить, возможно ли, чтобы для некоторых натуральных a, b, c последние две цифры (то есть число по модулю 100) чисел ab, ac, bc оказались трёх последовательными двузначными числами.

Пусть в результате операций получились числа n, n+1 и n+2 (при этом n – двузначное, то есть 10 ≤ n ≤ 97). Без ограничения общности можно записать систему сравнений по модулю 100:

  (1) ab ≡ n (mod 100),
  (2) ac ≡ n+1 (mod 100),
  (3) bc ≡ n+2 (mod 100).

Заметим, что раз значения – двузначные числа от 10 до 99, они не равны 00, а значит множители a и...