Пусть - дифференцируемая функция. Показать, что

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Пусть - дифференцируемая функция. Показать, что

Условие:

Пусть $f(\vec{x}(t), t)$ - дифференцируемая функция. Показать, что

\frac{d}{d t} \int_{V(t)} f(\vec{x}, t) d V=\int_{V(t)}\left(\frac{d f(\vec{x}, t)}{d t}+f d i v \vec{v}\right) d V

Решение:

ШАГ 1. Представление подвижного объёма через начальное

Пусть V(0) — начальный объём, а подвижный объём V(t) задаётся отображением (характеристиками потока):
𝑥 = 𝑥(𝑥₀, t),
где 𝑥₀ ∈ V(0). При этом скорость движения точек определяется как
𝑣(𝑥(𝑥₀, t), t)= d𝑥/dt.

Объёмный элемент в переменных 𝑥₀ связан с элементом dV через якобиан отображения:
dV = J(𝑥₀, t) d𝑥₀,
где
J(𝑥₀, t)= det (∂𝑥/∂𝑥₀).

Таким образом, интеграл можно записать в Lagrange-координатах:
I(t)= ∫₍V(t)₎ f(𝑥, t) dV = ∫₍V(0)₎ f(𝑥(𝑥₀...