Пусть - линейные операторы линейного пространства такие, что и . Доказать, что для некоторого скаляра .

Добавлена: 10.04.2026
Обновлена: 10.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Линейная алгебра и аналитическая геометрия
#Теория групп

Пусть - линейные операторы линейного пространства такие, что и . Доказать, что для некоторого скаляра .

Условие:

Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ - линейные операторы линейного пространства $\boldsymbol{V}$ такие, что $\operatorname{Ker}(\mathcal{A})=\operatorname{Ker}(\mathcal{B}), \operatorname{Im}(\mathcal{A})=\operatorname{Im}(\mathcal{B})$ и $\mathrm{r}(\mathcal{A})=\mathrm{r}(\mathcal{B})=1$ . Доказать, что $\mathcal{B}=\alpha \mathcal{A}$ для некоторого скаляра $\alpha$ .

Решение:

Решение задачи 9.2.7

1. Дано

Пусть $\boldsymbol{V}$ — линейное пространство над полем $K$ . Даны линейные операторы $\mathcal{A}: \boldsymbol{V} \rightarrow \boldsymbol{V}$ и $\mathcal{B}: \boldsymbol{V} \rightarrow \boldsymbol{V}$ . Известны следующие условия:

Ядра совпадают: $\operatorname{Ker}(\mathcal{A})=\operatorname{Ker}(\mathcal{B})$ .
Образы совпадают: $\operatorname{Im}(\mathcal{A})=\operatorname{Im}(\mathcal{B})$ .
Ранги равны единице: $\mathrm{r}(\mathcal{A})=\mathrm{r}(\mathcal{B})=1$ .

2. Найти

Доказать, что $\mathcal{B}=\alpha \mathcal{A}$ для некоторого скаля...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство линейных операторов $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ позволяет утверждать, что их образы $\operatorname{Im}(\mathcal{A})$ и $\operatorname{Im}(\mathcal{B})$ совпадают с точностью до скалярного множителя, если их ранги равны единице?

Их ядра совпадают.

Они действуют на одном и том же линейном пространстве.

Их ранги равны единице.