Пусть - одномерное представление циклической группы , в котором 1 действует умножением на Найдите характер двойственного представления , то есть представления Является ли самодвойственным (то есть изоморфны ли и )?

Рассмотрим одномерное представление циклической группы $G = \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$, заданное действием элемента 1 на $V$ умножением на $\omega = e^{\frac{2 \pi i}{3}}$. Это означает, что для любого $g \in G$ мы имеем:

$\rho(0) = 1$ (единичный оператор), $\rho(1) = \omega$, $\rho(2) = \omega^2$.

Теперь найдем характер двойственного представления $\rho^{*}$. Двойственное представление определяется как:

$\rho^{*}(g) = [\rho(g^{-1})]^{*}$...