Пусть - выборка из генеральной совокупности с конечным математическим ожиданием и дисперсией . Показать, что является смещенной и состоятельной оценкой параметра .

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Математическая статистика

Пусть - выборка из генеральной совокупности с конечным математическим ожиданием и дисперсией . Показать, что является смещенной и состоятельной оценкой параметра .

Условие:

Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ - выборка из генеральной совокупности с конечным математическим ожиданием $m$ и дисперсией $\sigma^{2}$ . Показать, что

s=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}

является смещенной и состоятельной оценкой параметра $\sigma$ .

Решение:

Рассмотрим выборку x₁, x₂, …, xₙ из генеральной совокупности с конечными математическим ожиданием m и дисперсией σ². Оценкой дисперсии является выборочная дисперсия

S² = (1/(n–1))·∑(xᵢ – x̄)²,

а искомая оценка стандартного отклонения определяется как

s = √S².

Смещённость оценки s

a. Известно, что S² является несмещённой оценкой σ², то есть E[S²] = σ². Однако функция √(·) является невыпуклой (точнее, она является представителем цепочки не-линейной трансформации). Применяя неравенство Йенсена, получаем для выпуклой (или...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство функции квадратного корня приводит к смещенности оценки стандартного отклонения, даже если выборочная дисперсия является несмещенной оценкой дисперсии?

Функция квадратного корня является линейной.

Функция квадратного корня является невыпуклой (вогнутой).

Функция квадратного корня является разрывной.