Работа №1: Исследование состояний равновесия и устойчивости в осцилляторе Дуффинга. 1. Найдите все состояния равновесия системы, приравняв правые части уравнений к нулю. 2. Проведите анализ устойчивости каждого состояния равновесия в зависимости от

Работа №1 посвящена исследованию состояний равновесия в осцилляторе Дуффинга. Нахождение состояний равновесия и анализ их устойчивости:

Найдите все состояния равновесия системы, приравняв правые части уравнений к нулю.

Проведите анализ устойчивости каждого состояния равновесия в зависимости от параметров
β
β и
γ
γ. Для этого используйте метод линеаризации системы в окрестности каждой точки равновесия и определите собственные значения матрицы Якоби.

Построение областей с разным типом поведения на плоскости параметров
β
−
γ
β−γ:

Нанесите на плоскость параметров
β
−
γ
β−γ линии, разделяющие области с разным типом поведения системы (например, области с устойчивыми и неустойчивыми состояниями равновесия).

Численное моделирование фазовых траекторий:

Используя программу для численного интегрирования дифференциальных уравнений (например, MATLAB, Python с библиотекой SciPy), постройте фазовые портреты системы для различных значений параметров
β
β и
γ
γ.

Исследуйте поведение системы в окрестности каждого состояния равновесия, задавая начальные условия вблизи этих точек.

Постройте притягивающие и отталкивающие многообразия для седловых точек.

Исследование консервативного осциллятора Дуффинга:

Повторите пункты 2 и 4 для случая консервативного осциллятора Дуффинга (при
α
=
0
α=0).

Сравните поведение консервативного и диссипативного осцилляторов, обращая внимание на различия в фазовых портретах и устойчивости состояний равновесия.