Рассматривая проекции некоторой ломаной линии, доказать формулы:

Чтобы доказать указанные формулы, воспользуемся свойствами сумм тригонометрических функций и формулами для суммы геометрической прогрессии.

Дано:

• Необходимо доказать следующие равенства:
  $$\sin \varphi + \sin 3 \varphi + \ldots + \sin (2n-1) \varphi = \frac{1 - \cos 2n \varphi}{2 \sin \varphi}$$
  $$\cos \varphi + \cos 3 \varphi + \ldots + \cos (2n-1) \varphi = \frac{\sin 2n \varphi}{2 \sin \varphi}$$

Найти:

• Доказательства указанных равенств.

Решение:

Доказательство первой формулы:

1. Рассмотрим сумму: