Разложить функцию в ряд Фурье в действительной форме, считая функцию периодической с периодом . Построить график функции. Найти сумму полученного ряда Фурье согласно теореме Дирихле.

Добавлена: 09.05.2026
Обновлена: 09.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Разложить функцию в ряд Фурье в действительной форме, считая функцию периодической с периодом . Построить график функции. Найти сумму полученного ряда Фурье согласно теореме Дирихле.

Условие:

Разложить функцию $f(x)$ в ряд Фурье в действительной форме, считая функцию периодической с периодом $T=2 l$ . Построить график функции. Найти сумму полученного ряда Фурье согласно теореме Дирихле. $ f(x)=\left{

\begin{array}{rr} -1-x, & x \in[0,1), \x-1, & x \in[-1,0) \end{array}

Решение:

Для разложения функции $f(x)$ в ряд Фурье, сначала найдем коэффициенты ряда. Функция задана на интервале $[-l, +l)$ с периодом $T = 2l$ . В нашем случае $l = 1$ , поэтому $T = 2$ .

Функция $f(x)$ задана следующим образом:

f(x) = \begin{cases} -1 - x, & x \in [0, 1) \\ x - 1, & x \in [-1, 0) \end{cases}

Теперь найдем коэффициенты Фурье $a_0$ , $a_n$ и $b_n$ .

Коэффициент $a_0$ :

a_0 = \frac{1}{T} \int_{-l}^{l} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \, dx

Разобьем интеграл на два участка:

\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{0} (x - 1) \, dx + \int_{0}^{1} (-1 - x) \, dx

Вычислим первый интеграл:

\int_{-1}^{0} (x - 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_{-1}^{0} = \left( 0 - 0 \right) - \left( \frac{1}{2} + 1 \right) = -\frac{3}{2}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из коэффициентов Фурье в действительной форме для функции $f(x)$ с периодом $T=2l$ определяется как $a_0 = \frac{1}{T} \int_{-l}^{l} f(x) \, dx$?

Коэффициент при $\cos(n\pi x / l)$