Условие:
Разложить функцию f(x,y)=sinx/siny по формуле Тейлора в точке M=(пи/4,пи/4), ограничиваясь членами второго порядка включительно.
Решение:
Наша задача – разложить функцию
f(x, y) = sin x / sin y
в точке M = (π/4, π/4) по формуле Тейлора до членов второй степени включительно. Для этого нам нужно вычислить значение функции, её первые и вторые частные производные в точке M, а затем подставить их в общий вид многочлена Тейлора.
Обозначим: Δx = x – π/4 и Δy = y – π/4.
──────────────────────────────
- Вычисление f(M):
f(π/4, π/4) = sin(π/4) / sin(π/4) = (√2/2) / (√2/2) = 1.
────────────────────────────── 2. Первые частные производные:
(a) Производная по x: fₓ(x, y) = d/dx [sin x/sin y] = cos x/sin y (так как sin y ...