Доказать, что последовательность сходится, если ) , ) .

Добавлена: 29.04.2026
Обновлена: 29.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория пределов случайных величин

Доказать, что последовательность сходится, если ) , ) .

Условие:

Доказать, что последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ сходится, если\na) $x_{n}=1+\frac{1^{2}}{4}+\frac{2^{2}}{4^{2}}+\ldots+\frac{n^{2}}{4^{n}}$ ,\nb) $x_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ .

Решение:

Рассмотрим по пунктам.

Пункт а)
Нам дана последовательность
xₙ = 1 + 1²/4 + 2²/4² + … + n²/4ⁿ.
Заметим, что xₙ представляет собой частичную сумму ряда ∑ₚ₍₁∞ k²/4ⁿ (при этом первый член равен 1, который можно понимать как начальное слагаемое независимое от k). Для сходимости последовательности достаточно доказать сходимость соответствующего числового ряда.
Используем известную формулу для мощности ряда: при |x| < 1 выполнено равенство ∑ₙ₍₁∞ n² xⁿ = x(1 + x)/(1 – x)³.
Подставим x = 1/4:
∑ₙ₍₁∞ n² (1/4)ⁿ = (1/4)(1 + 1/4)/(1 – 1/4)³.
...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод является наиболее подходящим для доказательства сходимости последовательности, заданной как произведение $ x_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right) $?

Использование критерия Коши для последовательностей.

Применение логарифмирования и теоремы о монотонной сходимости.

Сравнение с известным расходящимся рядом.