Разложите функцию на отрезке в ряд Фурье. Чему равна поточечная сумма полученного ряда Фурье при всех ? Сходится ли этот ряд в среднеквадратичном? Сходится ли он в среднем?

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Разложите функцию на отрезке в ряд Фурье. Чему равна поточечная сумма полученного ряда Фурье при всех ? Сходится ли этот ряд в среднеквадратичном? Сходится ли он в среднем?

Условие:

Разложите функцию $f(x)=e^{x}$ на отрезке $[-\pi, \pi]$ в ряд Фурье. Чему равна поточечная сумма полученного ряда Фурье при всех $x \in \mathbb{R}$ ? Сходится ли этот ряд в среднеквадратичном? Сходится ли он в среднем?

Решение:

Формула ряда Фурье

Для функции f, заданной на [–π, π], стандартное представление ряда Фурье имеет вид

f(x) ~ a₀/2 + Σ (от n=1 до ∞) [aₙ cos(nx) + bₙ sin(nx)],

где коэффициенты вычисляются по формулам

aₙ = (1/π) ∫₋π^π f(x) cos(nx) dx, n ≥ 0,
bₙ = (1/π) ∫₋π^π f(x) sin(nx) dx, n ≥
1.

Для нашей функции f(x)=eˣ получим:
aₙ = (1/π) ∫₋π^π eˣ cos(nx) dx,
bₙ = (1/π) ∫₋π^π eˣ sin(nx) dx.
При n = 0:
a₀ = (1/π) ∫₋π^π eˣ dx = (e^π – e^(–π))/π.

──────────────────────────────<...