Реши уравнение: arcsin x(x+y)+arcsin y(x+y)=π. Для каждого решения найди (x+y)2 и в ответе запиши сумму всех таких значений.

8 октября 2025
Высшая математика

Условие:

Реши уравнение: arcsin x(x+y)+arcsin y(x+y)=π.
Для каждого решения найди (x+y)² и в ответе запиши сумму всех таких значений.

Решение:

Решим уравнение \( \arcsin x (x+y) + \arcsin y (x+y) = \pi \). 1. Обозначим \( z = x + y \). Тогда уравнение можно переписать как: \[ \arcsin x \cdot z + \arcsin y \cdot z = \pi. \] Это можно упростить: \[ z (\arcsin x + \arcsin y) = \pi. \] 2. Рассмотрим случай, когда \( z \neq 0 \). Мы можем выразить \( z \): \[ z = \frac{\pi}{\arcsin x + \arcsin y}. \] 3. Теперь рассмотрим диапазон значений \( \arcsin x \) и \( \arcsin y \). Поскольку \( \arcsin x \) и \( \arcsin y \) принимают значения от \( 0 \) до \( \frac{\pi}{2} \) для \( x, y \in [0, 1] \), сумма \( \a...