Решить линейное разностное уравнение второго порядка Частное решение неоднородного уравнения найти двумя способами: а) методом неопределенных коэффициентов и б) методом Лагранжа вариации произвольных постоянных Начальные условия:

Добавлена: 10.05.2026
Обновлена: 10.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Решить линейное разностное уравнение второго порядка

a_0 \cdot x_{n+2}+a_1 \cdot x_{n+1} + a_2 \cdot x_n = f(n)

a_0 = 1

a_1 = 9

a_2 = 14

Частное решение неоднородного уравнения найти двумя способами: а) методом неопределенных коэффициентов и б) методом Лагранжа вариации произвольных постоянных

f(n) = 48n + 190

Начальные условия:

x(0) = 16, x(1) = -19

Решение:

Для решения линейного разностного уравнения второго порядка будем использовать два метода: метод неопределенных коэффициентов и метод вариации произвольных постоянных.

Дано разностное уравнение: \nx_(n+2) + 9 * x_(n+1) + 14 * x_n = 48n + 190

Сначала найдем общее решение однородного уравнения: \nx_(n+2) + 9 * x_(n+1) + 14 * x_n = 0

Характеристическое уравнение: \nr^2 + 9r + 14 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: \nD = 9^2 - 4 * 1 * 14 = 81 - 56 = 25

Корни: \nr1 = (-9 + √25) / 2 = (-9 + 5) / 2 = -2\nr2 = (-9 - √25) / 2 = (-9 - 5) / 2 = -7

Таким образом, общее решение од...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой вид частного решения $x_n^p$ следует выбрать для линейного разностного уравнения $x_{n+2} + 9x_{n+1} + 14x_n = 48n + 190$ при использовании метода неопределенных коэффициентов?

$x_n^p = A \cdot 48n + B \cdot 190$

$x_n^p = An + B$

$x_n^p = An^2 + Bn + C$

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Линейное однородное разностное уравнение второго порядка имеет вид $a_0 x_{n+2} + a_1 x_{n+1} + a_2 x_n = 0$ . Его общее решение находится через корни характеристического уравнения $a_0 r^2 + a_1 r + a_2 = 0$ .
Если корни характеристического уравнения $r_1$ и $r_2$ различны, то общее решение однородного уравнения имеет вид $x_n^h = C_1 r_1^n + C_2 r_2^n$ .
Метод неопределенных коэффициентов применяется для нахождения частного решения неоднородного уравнения $a_0 x_{n+2} + a_1 x_{n+1} + a_2 x_n = f(n)$ . Вид частного решения $x_n^p$ выбирается в зависимости от вида функции $f(n)$ . Если $f(n)$ — полином степени $k$ , то $x_n^p$ ищется в виде полинома той же степени (с поправкой на совпадение с корнями характеристического уравнения).
Метод вариации произвольных постоянных (Лагранжа) также используется для нахождения частного решения неоднородного уравнения. Он предполагает, что константы $C_1$ и $C_2$ в общем решении однородного уравнения являются функциями $n$ , т.е. $x_n^p = C_1(n) r_1^n + C_2(n) r_2^n$ , и для нахождения $C_1(n)$ и $C_2(n)$ решается система уравнений.
Общее решение линейного неоднородного разностного уравнения является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: $x_n = x_n^h + x_n^p$ . Константы $C_1$ и $C_2$ определяются из начальных условий.