Разбор задачи

Решить уравнение

Добавлена: 12.04.2026
Обновлена: 12.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Решить уравнение $y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}=8 x$

Решение:

1. Дано

Уравнение:

y'' + 8y' = 8x

2. Найти

Общее решение уравнения $y(x)$ .

3. Решение

Общее решение неоднородного уравнения ищется в виде:

y = y_h + y_p

где

y_h

— общее решение соответствующего однородного уравнения, а

y_p

— частное решение неоднородного уравнения.

Шаг 1: Нахождение общего решения однородного уравнения $y_h$

Рассмотрим однородное уравнение:

y'' + 8y' = 0

Составим характеристическое уравнение:

k^2 + 8k = 0

Вынесем

k

за скобки:

k(k + 8) = 0

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Почему при нахождении частного решения неоднородного дифференциального уравнения $y'' + 8y' = 8x$ пробное решение ищется в виде $y_p = x(Ax + B)$?

Потому что правая часть уравнения является многочленом первой степени, и это стандартная форма для таких случаев.

Потому что число $0$ является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, и правая часть уравнения является многочленом.

Потому что в характеристическом уравнении присутствует корень $k=0$ , что требует увеличения степени пробного решения.