Решение комбинаторных задач разных видов Прежде, чем решать комбинаторные задачи, повторите: - что такое размещение, перестановка и сочетание; - формулы для нахождения их числа; - свойства сочетаний. Сначала решите задачи, которые лично Вы не успели

Давайте решим предложенные задачи по порядку.

Задача №1

У Маши есть 9 фломастеров, а у Саши 7 карандашей.

а) Сколькими способами они могут обменять один фломастер на один карандаш?

Решение:
- Маша может выбрать любой из 9 фломастеров.
- Саша может выбрать любой из 7 карандашей.

Общее количество способов обмена:
$ 9 \times 7 = 63 $

б) Сколькими способами они могут обменять два фломастера на 2 карандаша?

Решение... - Маша выбирает 2 фломастера из 9. Это сочетание, и его количество можно найти по формуле: $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ где $n = 9$, $k = 2$: $ C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 $

• Саша выбирает 2 карандаша из 7:
  $$C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$$

Общее количество способов обмена:

$$36 \times 21 = 756$$

Из 20 студентов надо выбрать старосту, заместителя и 2-х членов редакционной комиссии.

• Выбор старосты: 20 способов.
• Выбор заместителя: 19 способов (один студент уже выбран).
• Выбор 2-х членов редакционной комиссии из оставшихся 18 студентов:
  $$C(18, 2) = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 153$$

Общее количество способов:

$$20 \times 19 \times 153 = 58140$$

а) Сколько различных пятизначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4?

• Первая цифра не может быть 0 (только 1, 2, 3, 4), т.е. 4 варианта.
• Остальные 4 цифры могут быть любыми из 5 (включая 0).

Общее количество:

$$4 \times 5^4 = 4 \times 625 = 2500$$

б) Сколько среди них нечётных?

• Нечётные числа могут заканчиваться на 1, 3, 4 (т.е. 3 варианта).
• Первая цифра может быть 1, 2, 3, 4 (4 варианта).
• Остальные 3 цифры могут быть любыми из 5.

Общее количество нечётных чисел:

$$4 \times 5^3 \times 3 = 4 \times 125 \times 3 = 1500$$

Сколько различных пятизначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4, при условии, что цифры не повторяются?

• Первая цифра может быть 1, 2, 3, 4 (4 варианта).
• Вторая цифра может быть любой из оставшихся 4 цифр (включая 0).
• Третья цифра - 3 оставшиеся.
• Четвёртая - 2 оставшиеся.
• Пятая - 1 оставшаяся.

Общее количество:

$$4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$$

Сколько различных правильных дробей можно составить из чисел 21, 31, 51, 71, 97, 111, 131, 171?

• Правильная дробь - это дробь, где числитель меньше знаменателя.
• Сначала найдем количество пар (числитель, знаменатель), где числитель меньше знаменателя.

Числители: 21, 31, 51, 71, 97, 111, 131, 171 (всего 8 чисел). Считаем количество пар:

• 21 может быть с 31, 51, 71, 97, 111, 131, 171 (7 вариантов).
• 31 может быть с 51, 71, 97, 111, 131, 171 (6 вариантов).
• 51 может быть с 71, 97, 111, 131, 171 (5 вариантов).
• 71 может быть с 97, 111, 131, 171 (4 варианта).
• 97 может быть с 111, 131, 171 (3 варианта).
• 111 может быть с 131, 171 (2 варианта).
• 131 может быть с 171 (1 вариант).

Общее количество:

$$7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$$

Сколькими способами можно положить в два кармана десять:

а) рублевых монет?

Каждая монета может быть положена в один из двух карманов. Таким образом, для каждой из 10 монет есть 2 варианта.

Общее количество способов:

$$2^{10} = 1024$$

б) различных монет?

Аналогично, каждая из 10 различных монет может быть положена в один из двух карманов.

Общее количество способов:

$$2^{10} = 1024$$

Сколькими способами могут быть расставлены оценки 4 студентам, если никто из них не получил неудовлетворительной оценки?

Предположим, что оценки могут быть 5, 4, 3, 2 (4 оценки). Каждому студенту можно дать любую из 4 оценок.

Общее количество способов:

$$4^4 = 256$$

а) Сколькими способами можно посадить 6 человек в один ряд?

Количество перестановок 6 человек:

$$6! = 720$$

б) Сколькими способами можно посадить 6 человек за круглый стол?

При посадке за круглый стол, фиксируем одного человека, и переставляем остальных 5:

$$(6-1)! = 5! = 120$$

Сколько ожерелий из 6 различных бусин можно составить?

Ожерелье - это круговая перестановка, где порядок важен, но ротации считаются одинаковыми.

Количество способов:

$$\frac{6!}{6} = 5! = 120$$

Таким образом, все задачи решены.