Решите задачу Коши: (x³ + x)y' - (3x² - 1)y = 0, y(-1) = -8. Найдите частное решение.

Рассмотрим задачу Коши: (x³ + x)·y – (3x² – 1)·y = 0, y(–1) = –8. Шаг 1. Приведем уравнение к стандартному виду. Разделим обе части уравнения на (x³ + x) (при условии, что x³ + x ≠ 0):   y – [(3x² – 1)/(x³ + x)]·y = 0. Заметим, что x³ + x = x·(x² + 1). Тогда коэффициент при y можно записать как:   (3x² – 1) / [x·(x² + 1)]. Шаг 2. Для линейного однородного уравнения y + P(x)y = 0 общее решение находится по формуле   y = C·exp(∫P(x)dx). В нашем случае P(x) = – (3x² – 1)/[x(x² + 1)], поэтому:   y = C·exp(∫ – (3x² – 1)/[x(x² + 1)] dx). Чтобы упростить интеграл, запишем его со знаком минус внут...