Решите задачу нелинейного программирования геометрическим методом: при ограничениях

Добавлена: 15.04.2026
Обновлена: 15.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория оптимизации

Условие:

Решите задачу нелинейного программирования геометрическим методом:

F\left(x_{1}, x_{2}\right)=4 x_{1}^{2}-2 x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}-x_{1} \rightarrow \min

при ограничениях

\left\{ \begin{array}{l}\nx_{1}+2 x_{2} \geq 0 \\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq 16 \\ x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0 \end{array}\right.

Решение:

Шаг 1: Дано

Мы имеем задачу минимизации функции:

\nF\left(x_{1}, x_{2}\right) = 4 x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - x_{1}

при следующих ограничениях:

$x_{1} + 2 x_{2} \geq 0$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq 16$
$x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0$

Шаг 2: Найти

Нам нужно найти минимум функции $F(x_1, x_2)$ при заданных ограничениях.

Шаг 3: Решение

Построим область допустимых решений.
- Первое ограничение $x_{1} + 2 x_{2} \geq 0$ можно переписать как $x_{2} \geq -\frac{1}{2} x_{1}$ . Это не накладывает ограничений на положительность $x_1$ и $x_2$ , поскольку...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой геометрический объект описывает область допустимых решений задачи нелинейного программирования, заданной ограничениями $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq 16$, $x_{1} \geq 0$, $x_{2} \geq 0$?

Квадрат в первой четверти с вершиной в начале координат.

Сектор круга радиусом 4 в первой четверти.

Треугольник с вершинами в точках (0,0), (4,0) и (0,4).