Роберт купил для себя и своих друзей квадратную плитку шоколада со стороной 1. Он решил поделить её на прямоугольников разрезами следующим образом: на очередном шаге он случайно выбирает один из имеющихся на данный момент кусков и проводит по нему

Начальные условия: У нас есть квадратная плитка шоколада со стороной 1, площадь которой равна 1. Мы будем разрезать её на $n + 1$ частей, где $n = 5$.

Процесс разрезания: На каждом шаге Роберт выбирает один из имеющихся кусков и делает разрез. Разрез может быть горизонтальным или вертикальным, и его положение выбирается равномерно.

Математическое ожидание: Мы хотим найти математическое ожидание произведения площадей полученных кусков. Обозначим площади кусков после $n$ разрезов как $A_1, A_2, \ldots, A_{n+1}$. Тогда мы ищем $\mathbb{E}[A_1 A_2 \cdots A_{n+1}]$.

Свойства разрезов:

• При каждом разрезе площадь одного из кусков делится на две части. Если кусок имеет площадь $A$, и мы делаем разрез на расстоянии $x$ от одной из сторон, то получаем два куска с площадями $x$ и $A - x$.
• Вероятность выбора направления разреза (горизонтальный или вертикальный) равна $\frac{1}{2}$.

Рекуррентное соотношение: Мы можем использовать рекуррентное соотношение для вычисления математического ожидания произведения площадей. После каждого разреза математическое ожидание произведения площадей можно выразить через математическое ожидание предыдущего состояния.

Вычисление для $n = 5$:

• Для $n = 1$: $\mathbb{E}[A_1 A_2] = \frac{1}{4}$...